公立高校入試

【中学生向け】正方形を使った一次関数の問題・解き方をやさしく解説

一次関数の正方形問題:アイキャッチ画像
先生
先生
この記事では中学生向けに一次関数と正方形についてやさしく解説していきます!

一次関数は式を求める問題・図形問題・文章問題と色々なパターンの問題がありますが、その中でも正方形を使った一次関数の問題は難易度高めです。

さくら
さくら
一次関数に正方形が出てきただけで吐き気がします…
先生
先生
しかし、一次関数の正方形問題は解き方が意外に単純です!解き方はワンパターンなので問題慣れしておくだけで得点源にできます。

解放の手順としては、

  1. まずは2辺の長さを出す
  2. 正方形である事を利用して、2辺の長さをイコールで結ぶ
  3. 座標を出す

たったこれだけです。

一次関数の正方形を使った問題・解き方

先生
先生
ではここで一緒に一次関数の正方形を使った問題を解いていきましょう。今回用意したのはオリジナル問題です!
一次関数の正方形問題
さくら
さくら
何から手をつければ良いかさっぱり分からない…
先生
先生
手順に添って順当に解いていきましょう…

基本的な解き方の方針

一次関数の正方形問題に対する考え方一次関数の正方形問題に対する考え方

長方形やひし形ではなく、あえて「正方形」を使っていることに注目しましょう。

正方形でなくてはいけない理由がそこにはあるわけです。

正方形は「全ての辺の長さが等しい」という最大の特徴を持っています。

この特徴を最大限に発揮していきます。

1.求めたい座標Pに文字を当てはめる

一次関数の正方形問題の説明①一次関数の正方形問題の説明①

最終的にPの座標を求めたいわけですから、まずはPのx座標を「t」とおきます。

Pはy=x+5上にあるので、y座標は「t+5」となります。

つまり、P(t,t+5)と置き換えることができます。

2.Qの座標を出す

一次関数の正方形問題の説明②一次関数の正方形問題の説明②

次にQの座標を出していきます。

QはPと同じ高さにあるので、y座標「t+5」という事が分かります。

残るはx座標。Qはy=-2x+9上にあるのでyにt+5を代入して、t+5=-2x+9という式を作ります。ここから導き出されるxは「-1/2t+2」となります。

よって、Q(-1/2+2,t+5)となります

3.PQの長さを出す

一次関数の正方形問題の説明③一次関数の正方形問題の説明③

では、PQの長さを出していきます。PQは横の長さなので、P・Qそれぞれのx座標に注目しましょう。

Pのx座標-Qのx座標より、PQ=-1/2t+2-tとなり、PQ=-3/2t+2

4.PRの長さを出す

一次関数の正方形問題の説明④一次関数の正方形問題の説明④

では、PRの長さを出していきます。PRは縦の長さなので、y座標に注目すれば良いですね。

Pのy座標は「t+5」なのでPR=t+5となります。

5.PQ=PRを解いてtの値を出す

一次関数の正方形問題の説明⑤一次関数の正方形問題の説明⑤

ここでPQRSは正方形より、PQ=PR。

よって、-3/2t+2=t+5が成立し、t=-6/5

6.答え

一次関数の正方形問題の答え一次関数の正方形問題の答え

よって答えはP(-6/5,-19/5)となる。

一次関数の正方形問題の正答率

私が中学生向けの学習塾で教えている様子だと、中学2年生の初見正答率は3%ほどしかありません。

つまり、中学2年生にとっては問題として非常に難しい事が伺えます。

言い換えれば、問題に出て答えられるだけでも大きなアドバンテージになるということです。

公立高校入試における一次関数の正方形問題の傾向

公立高校入試において、一次関数の正方形問題の出題頻度は高くありません

しかし、求めたい座標に文字(tなど)を当てはめて解法を導く手法は一次関数では一般的です。

出題頻度は高くありませんが、一次関数の正方形問題を解ければ粗方の対応は可能でしょう。

まとめ

一次関数の正方形問題の解法まとめ

以上が一次関数の正方形問題の解き方でした。

まとめ
  • 求めたい座標を文字で置き換える
  • 方形を構成する各点の座標を求める
  • 各辺の長さを出してイコールで結ぶ
  • 文字の値を出す

一次関数の問題は難しいですが、問題はワンパターンで出る場合がほとんどです。

しっかり覚えた上で自信を持ってテストに挑めるようにしておきましょう。